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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2
Complétez le carré pour .
Étape 1.2.1
Utilisez la forme pour déterminer les valeurs de , et .
Étape 1.2.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
Étape 1.2.3
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 1.2.3.1
Remplacez les valeurs de et dans la formule .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.2.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.2.3.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.3.2.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.4
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 1.2.4.1
Remplacez les valeurs de , et dans la formule .
Étape 1.2.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.1.3
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.2.4.2.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.2.1.3.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.2.4.2.1.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.2.1.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.2.1.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.2.1.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.4.2.1.5
Multipliez .
Étape 1.2.4.2.1.5.1
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.2
Additionnez et .
Étape 1.2.5
Remplacez les valeurs de , et dans la forme du sommet .
Étape 1.3
Remplacez par dans l’équation .
Étape 1.4
Déplacez du côté droit de l’équation en ajoutant des deux côtés.
Étape 1.5
Complétez le carré pour .
Étape 1.5.1
Utilisez la forme pour déterminer les valeurs de , et .
Étape 1.5.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
Étape 1.5.3
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 1.5.3.1
Remplacez les valeurs de et dans la formule .
Étape 1.5.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.5.3.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.5.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.5.3.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.3.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.5.3.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.5.4
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 1.5.4.1
Remplacez les valeurs de , et dans la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.3
Annulez le facteur commun à et .
Étape 1.5.4.2.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.4.2.1.3.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.5.4.2.1.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.4.2.1.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.4.2.1.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5
Remplacez les valeurs de , et dans la forme du sommet .
Étape 1.6
Remplacez par dans l’équation .
Étape 1.7
Déplacez du côté droit de l’équation en ajoutant des deux côtés.
Étape 1.8
Simplifiez .
Étape 1.8.1
Déterminez le dénominateur commun.
Étape 1.8.1.1
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 1.8.1.2
Multipliez par .
Étape 1.8.1.3
Multipliez par .
Étape 1.8.1.4
Multipliez par .
Étape 1.8.1.5
Multipliez par .
Étape 1.8.1.6
Multipliez par .
Étape 1.8.1.7
Multipliez par .
Étape 1.8.1.8
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.8.1.9
Multipliez par .
Étape 1.8.1.10
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.8.1.11
Multipliez par .
Étape 1.8.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.8.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.8.3.1
Multipliez par .
Étape 1.8.3.2
Multipliez par .
Étape 1.8.4
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Étape 1.8.4.1
Soustrayez de .
Étape 1.8.4.2
Additionnez et .
Étape 1.9
Divisez chaque terme par pour rendre le côté droit égal à un.
Étape 1.10
Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit .
Étape 2
C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.
Étape 3
Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable représente le décalage x par rapport à l’origine, représente le décalage y par rapport à l’origine, .
Étape 4
Le centre d’une hyperbole suit la forme de . Remplacez les valeurs de et .
Étape 5
Étape 5.1
Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.
Étape 5.2
Remplacez les valeurs de et dans la formule.
Étape 5.3
Simplifiez
Étape 5.3.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.3.2
Réécrivez comme .
Étape 5.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.3.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.3.2.3
Associez et .
Étape 5.3.2.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.3.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.2.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.3.3
Simplifiez l’expression.
Étape 5.3.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.3.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.3.4
Réécrivez comme .
Étape 5.3.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.3.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.3.4.3
Associez et .
Étape 5.3.4.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.3.4.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.4.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.4.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.3.5
Simplifiez l’expression.
Étape 5.3.5.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.5.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.3.5.3
Additionnez et .
Étape 5.3.6
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.3.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.6.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.3.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.7
Réécrivez comme .
Étape 5.3.8
Simplifiez le dénominateur.
Étape 5.3.8.1
Réécrivez comme .
Étape 5.3.8.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6
Étape 6.1
Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant à .
Étape 6.2
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule et simplifiez.
Étape 6.3
Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant à .
Étape 6.4
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule et simplifiez.
Étape 6.5
Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de . Les hyperboles ont deux sommets.
Étape 7
Étape 7.1
Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant à .
Étape 7.2
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule et simplifiez.
Étape 7.3
Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant à .
Étape 7.4
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule et simplifiez.
Étape 7.5
Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de . Les hyperboles ont deux foyers.
Étape 8
Étape 8.1
Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.
Étape 8.2
Remplacez les valeurs de et dans la formule.
Étape 8.3
Simplifiez
Étape 8.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 8.3.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.3
Réécrivez comme .
Étape 8.3.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.3.3.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.3.3.3
Associez et .
Étape 8.3.3.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.3.3.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.3.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.3.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.3.4
Simplifiez l’expression.
Étape 8.3.4.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.4.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.5
Réécrivez comme .
Étape 8.3.5.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.3.5.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.3.5.3
Associez et .
Étape 8.3.5.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.3.5.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.5.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.5.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.3.6
Simplifiez l’expression.
Étape 8.3.6.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.6.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.3.6.3
Additionnez et .
Étape 8.3.7
Annulez le facteur commun à et .
Étape 8.3.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.7.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 8.3.7.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.7.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.7.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.8
Réécrivez comme .
Étape 8.3.9
Simplifiez le dénominateur.
Étape 8.3.9.1
Réécrivez comme .
Étape 8.3.9.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 8.3.10
Simplifiez les termes.
Étape 8.3.10.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.3.10.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.10.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.10.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.10.2
Associez et .
Étape 8.3.11
Associez et en un radical unique.
Étape 8.3.12
Annulez le facteur commun à et .
Étape 8.3.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.12.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 8.3.12.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.12.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.12.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.13
Réécrivez comme .
Étape 8.3.14
Toute racine de est .
Étape 8.3.15
Multipliez par .
Étape 8.3.16
Associez et simplifiez le dénominateur.
Étape 8.3.16.1
Multipliez par .
Étape 8.3.16.2
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.16.3
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.16.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 8.3.16.5
Additionnez et .
Étape 8.3.16.6
Réécrivez comme .
Étape 8.3.16.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.3.16.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.3.16.6.3
Associez et .
Étape 8.3.16.6.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.3.16.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.16.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.16.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.3.17
Associez et .
Étape 8.3.18
Déplacez à gauche de .
Étape 9
Étape 9.1
Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.
Étape 9.2
Remplacez les valeurs de et dans la formule.
Étape 9.3
Simplifiez
Étape 9.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.3.2
Associez.
Étape 9.3.3
Simplifiez l’expression.
Étape 9.3.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.3.3.2
Multipliez par .
Étape 9.3.3.3
Déplacez à gauche de .
Étape 9.3.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.3.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 9.3.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.3.6
Multipliez par .
Étape 9.3.7
Multipliez par .
Étape 10
Les asymptotes suivent la forme car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.
Étape 11
Étape 11.1
Multipliez par .
Étape 11.2
Supprimez les parenthèses.
Étape 11.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 11.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 11.3.2
Associez et .
Étape 11.3.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 11.3.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 11.3.5
Associez et .
Étape 11.3.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 11.3.7
Déplacez à gauche de .
Étape 12
Étape 12.1
Multipliez par .
Étape 12.2
Supprimez les parenthèses.
Étape 12.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 12.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 12.3.2
Multipliez .
Étape 12.3.2.1
Multipliez par .
Étape 12.3.2.2
Multipliez par .
Étape 12.3.2.3
Associez et .
Étape 12.3.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 12.3.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 12.3.5
Associez et .
Étape 12.3.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 12.3.7
Multipliez par .
Étape 13
Cette hyperbole a deux asymptotes.
Étape 14
Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.
Centre :
Sommets :
Foyers :
Excentricité :
Paramètre focal :
Asymptotes : ,
Étape 15