Trigonométrie Exemples

$- 3 \sin (π x - 2 x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 3$

$b = π - 2$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période de $- 3 \sin (π x - 2 x)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $π - 2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π - 2 |}$

Étape 3.3

$π - 2$ est d’environ $1.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π - 2}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{π - 2}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $π - 2$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $\frac{2 π}{π - 2}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 3 \sin (π (0) - 2 \cdot 0)$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0 - 2 \cdot 0)$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0 + 0)$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2 (π - 2)}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2 (π - 2)}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (π (\frac{π}{2 (π - 2)}) - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $π (\frac{π}{2 (π - 2)})$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.1.1.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.1.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{1 + 1}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 (- 1) (\frac{π}{2 (π - 2)}))$

Étape 6.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 (π - 2)}))$

Étape 6.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - 1 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez $- 1 \frac{π}{π - 2}$ comme $- \frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $- \frac{π}{π - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π}{π - 2} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (π - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{π - 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π \cdot 2}{(π - 2) \cdot 2})$

Étape 6.2.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(π - 2) \cdot 2$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - 2 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.2.2.6

Évaluez $\sin (\frac{π^{2} - 2 π}{2 (π - 2)})$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \cdot 1$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3$

Étape 6.2.2.8

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{π - 2}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{π - 2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (π (\frac{π}{π - 2}) - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $π (\frac{π}{π - 2})$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.1.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{1 + 1}}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} + \frac{- 2 π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} - \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - 2 π}{π - 2})$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (0)$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \cdot 0$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = 0$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2 (π - 2)}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2 (π - 2)}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (π (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $π (\frac{3 π}{2 (π - 2)})$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{3 π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π (3 π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.1.1.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 (π π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.1.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 (π π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{1 + 1}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 (- 1) (\frac{3 π}{2 (π - 2)}))$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 π}{2 (π - 2)}))$

Étape 6.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - 1 \frac{3 π}{π - 2})$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 \frac{3 π}{π - 2}$ comme $- \frac{3 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π}{π - 2})$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $- \frac{3 π}{π - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π}{π - 2} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (π - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{π - 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π \cdot 2}{(π - 2) \cdot 2})$

Étape 6.4.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(π - 2) \cdot 2$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2} - 3 π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2} - 6 π}{2 (π - 2)})$

Étape 6.4.2.6

Évaluez $\sin (\frac{3 π^{2} - 6 π}{2 (π - 2)})$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \cdot - 1$

Étape 6.4.2.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = 3$

Étape 6.4.2.8

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{2 π}{π - 2}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{π - 2}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (π (\frac{2 π}{π - 2}) - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1

Multipliez $π (\frac{2 π}{π - 2})$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{2 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π (2 π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.1.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 (π π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 (π π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.2

Multipliez $- 2 \frac{2 π}{π - 2}$ .

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Étape 6.5.2.1.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{2 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} + \frac{- 2 (2 π)}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} + \frac{- 4 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} - \frac{4 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2} - 4 π}{π - 2})$

Étape 6.5.2.3

Évaluez $\sin (\frac{2 π^{2} - 4 π}{π - 2})$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \cdot 0$

Étape 6.5.2.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = 0$

Étape 6.5.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2 (π - 2)} & - 3 \\ \frac{π}{π - 2} & 0 \\ \frac{3 π}{2 (π - 2)} & 3 \\ \frac{2 π}{π - 2} & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $\frac{2 π}{π - 2}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2 (π - 2)} & - 3 \\ \frac{π}{π - 2} & 0 \\ \frac{3 π}{2 (π - 2)} & 3 \\ \frac{2 π}{π - 2} & 0 \end{array}$

Étape 8