Trigonométrie Exemples

$5 x^{2} + 5 y^{2} - 12 y = 2$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{12 y}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2

Complétez le carré pour $y^{2} - \frac{12 y}{5}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{12}{5}$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{12}{5}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 (- 6)}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{5}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{6}{5}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{12}{5}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{5}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{144}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{144}{25})}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{144}{25}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{144}{25}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{144}{25}}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{144}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $144$ .

$e = 0 - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{36}{25}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{36}{25}$ de $0$ .

$e = - \frac{36}{25}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$ .

${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$

Étape 3

Remplacez $y^{2} - \frac{12 y}{5}$ par ${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{12 y}{5} = \frac{2}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25} = \frac{2}{5}$

Étape 4

Déplacez $- \frac{36}{25}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{36}{25}$ des deux côtés.

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2}{5} + \frac{36}{25}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{2}{5} + \frac{36}{25}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{2}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{36}{25}$

Étape 5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{36}{25}$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5}{25} + \frac{36}{25}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5 + 36}{25}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{10 + 36}{25}$

Étape 5.4.2

Additionnez $10$ et $36$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{46}{25}$

Étape 6

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 7

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{\sqrt{46}}{5}$

$h = 0$

$k = \frac{6}{5}$

Étape 8

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(0, \frac{6}{5})$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(0, \frac{6}{5})$

Rayon : $\frac{\sqrt{46}}{5}$

Étape 10