Trigonométrie Exemples

$y = \tan (x) | \cos (x) |$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = | \cos (x) | \tan (x)$ est $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\cos (x)$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\cos (x) = 0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\cos (x) = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π n$ dans l’expression.

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 1.4

Simplifiez $| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | (\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)})$

Étape 1.4.2

Associez $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ et $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ .

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 1.4.3

Séparez les fractions.

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 1.4.4

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ à $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ .

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 1.4.5

Divisez $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ par $1$ .

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 1.5

Le sommet de la valeur absolue est $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ .

$(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $y = | \cos (x) | \tan (x)$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , pour tout entier $n$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)),$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{2} + π n & | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n) \end{array}$

Étape 4