Trigonométrie Exemples

$θ^{2} = (\frac{4 π^{2}}{G M}) r^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 π^{2}}{G M} \cdot r^{3} = θ^{2}$ .

$\frac{4 π^{2}}{G M} \cdot r^{3} = θ^{2}$

Étape 2

Associez $\frac{4 π^{2}}{G M}$ et $r^{3}$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} = θ^{2}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $G M$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} (G M) = θ^{2} (G M)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $G M$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} (G M) = θ^{2} (G M)$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 π^{2} r^{3} = θ^{2} (G M)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$

Étape 5

Résolvez $r$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$ par $4 π^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$ par $4 π^{2}$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{4 π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{4 π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π^{2} r^{3}}{π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $π^{2}$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π^{2} r^{3}}{π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $r^{3}$ par $1$ .

$r^{3} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Étape 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$

Étape 5.3

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Étape 5.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{4 π^{2}} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $\sqrt[3]{4 π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{1 + 2}}$

Étape 5.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{3}}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{3}$ comme $4 π^{2}$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 π^{2}}$ comme ${(4 π^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{({(4 π^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.3.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.3.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{1}}$

Étape 5.3.3.5.5

Simplifiez

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(4 π^{2})}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(4 π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $4 π^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{4^{2} {(π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 {(π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.4

Multipliez les exposants dans ${(π^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 π^{2 \cdot 2}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 π^{4}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $16 π^{4}$ comme ${(2 π)}^{3} \cdot (2 π)$ .

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{8 (2) π^{4}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 π^{4}}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5.3

Factorisez $π^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 (π^{3} π)}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5.4

Déplacez $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} π^{3} \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5.5

Réécrivez $2^{3} π^{3}$ comme ${(2 π)}^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(2 π)}^{3} \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.5.6

Ajoutez des parenthèses.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(2 π)}^{3} \cdot (2 π)}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \cdot 2 π \sqrt[3]{2 π}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.4.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$r = \frac{2 π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}$ .

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{4 π^{2}}$

Étape 5.3.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π^{2}$ .

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 (2 π^{2})}$

Étape 5.3.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 (2 π^{2})}$

Étape 5.3.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π^{2}}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun à $π$ et $π^{2}$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}$ .

$r = \frac{π (\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 π^{2}}$

Étape 5.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.2.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π^{2}$ .

$r = \frac{π (\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{π (2 π)}$

Étape 5.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{π (2 π)}$

Étape 5.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π}$

Étape 5.3.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{2 θ^{2} G M π}}{2 π}$