Trigonométrie Exemples

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ est indéfinie.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

Étape 2

Comme $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ comme $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ depuis la gauche et $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ comme $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ depuis la droite, $y = - \sqrt{7}$ est une asymptote verticale.

$y = - \sqrt{7}$

Étape 3

Comme $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ comme $y$ $\to$ $- 2$ depuis la gauche et $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ comme $y$ $\to$ $- 2$ depuis la droite, $y = - 2$ est une asymptote verticale.

$y = - 2$

Étape 4

Comme $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ comme $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ depuis la gauche et $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ comme $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ depuis la droite, $y = \sqrt{7}$ est une asymptote verticale.

$y = \sqrt{7}$

Étape 5

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Étape 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ est une équation d’une droite, ce qui signifie qu’il n’y a aucune asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 7

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Étape 7.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

Étape 7.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

Étape 7.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

Étape 7.2

Développez $(y + 2) (y^{2} - 7)$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Étape 7.2.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Étape 7.2.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Étape 7.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Étape 7.2.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Étape 7.2.8

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

Étape 7.2.9

Déplacez $- 7 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Étape 7.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

Étape 7.4

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Étape 7.5

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 0$

Étape 8

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 0$

Étape 9