Trigonométrie Exemples

$\log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 | x | \sqrt{x} > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$| x | = 0$

$\sqrt{x} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $| x |$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $| x |$ égal à $0$ .

$| x | = 0$

Étape 1.2.2.2

Résolvez $| x | = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 | x | \sqrt{x} > 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 1.2.4

Déterminez le domaine de $3 | x | \sqrt{x}$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 1.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 0$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $0$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Étape 2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 \cdot (0 \sqrt{0}))$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0})$

Étape 2.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0^{2}})$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = \log_{3} (0 \cdot 0)$

Étape 2.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0)$

Étape 2.8

Le logarithme de zéro est indéfini.

$f (0) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . Dans ce cas, le point est $(1, 1)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Étape 4.1.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot (1 \sqrt{1}))$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \sqrt{1})$

Étape 4.1.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Étape 4.1.2.6

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 4.1.2.7

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . Dans ce cas, le point est $(2, \log_{3} (6 \sqrt{2}))$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Étape 4.2.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 \cdot (2 \sqrt{2}))$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Étape 4.2.2.4

La réponse finale est $\log_{3} (6 \sqrt{2})$ .

$y = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(0, Undefined), (1, 1), (2, 1.95)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.95 \end{array}$

Étape 5