Trigonométrie Exemples

$y x^{2} - 9 y = 42$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} - 9 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - 9 y = 42$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 9 y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 9 = 42$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{2}) + y \cdot - 9$ .

$y (x^{2} - 9) = 42$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y (x^{2} - 3^{2}) = 42$

Étape 1.3

Factorisez.

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Étape 1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = 42$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (x + 3) (x - 3) = 42$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) (x - 3) = 42$ par $(x + 3) (x - 3)$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) (x - 3) = 42$ par $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Déterminez où l’expression $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 3$

Étape 3

Comme $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 4

Comme $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 5

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 3$

Étape 6

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 7

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Étape 8

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 9

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 10

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 3$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 11