Trigonométrie Exemples

\cos (\frac{1}{2} \cdot \arccos (x))

$\cos (\frac{1}{2} \cdot \arccos (x))$

Étape 1

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 1.1

Déterminez le point sur

x = - 1

$x = - 1$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

- 1

$- 1$ dans l’expression.

f (- 1) = \cos (\frac{\arccos (- 1)}{2})

$f (- 1) = \cos (\frac{\arccos (- 1)}{2})$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

La valeur exacte de

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ est

π

$π$ .

f (- 1) = \cos (\frac{π}{2})

$f (- 1) = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.1.2.2

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ est

0

$0$ .

f (- 1) = 0

$f (- 1) = 0$

Étape 1.1.2.3

La réponse finale est

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Étape 1.2

Déterminez le point sur

x = - \frac{1}{2}

$x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{\arccos (- \frac{1}{2})}{2})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{\arccos (- \frac{1}{2})}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de

\arccos (- \frac{1}{2})

$\arccos (- \frac{1}{2})$ est

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Étape 1.2.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 π

$2 π$ .

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3})$

f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3})

$f (- \frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.2.2.4

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.5

La réponse finale est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déterminez le point sur

x = 0

$x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

0

$0$ dans l’expression.

f (0) = \cos (\frac{\arccos (0)}{2})

$f (0) = \cos (\frac{\arccos (0)}{2})$

Étape 1.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.3.2.1

La valeur exacte de

\arccos (0)

$\arccos (0)$ est

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (0) = \cos (\frac{\frac{π}{2}}{2})

$f (0) = \cos (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Étape 1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

f (0) = \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})

$f (0) = \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.2.3

Multipliez

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (0) = \cos (\frac{π}{2 \cdot 2})

$f (0) = \cos (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.3.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

f (0) = \cos (\frac{π}{4})

$f (0) = \cos (\frac{π}{4})$

f (0) = \cos (\frac{π}{4})

$f (0) = \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.3.2.4

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3.2.5

La réponse finale est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4

Déterminez le point sur

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dans l’expression.

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2})$

Étape 1.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.4.2.1

La valeur exacte de

\arccos (\frac{1}{2})

$\arccos (\frac{1}{2})$ est

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{\frac{π}{3}}{2})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{\frac{π}{3}}{2})$

Étape 1.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.4.2.3

Multipliez

\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3 \cdot 2})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{3 \cdot 2})$

Étape 1.4.2.3.2

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{6})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{6})$

f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{6})

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.2.4

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.5

La réponse finale est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5

Déterminez le point sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = \cos (\frac{\arccos (1)}{2})

$f (1) = \cos (\frac{\arccos (1)}{2})$

Étape 1.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.5.2.1

La valeur exacte de

\arccos (1)

$\arccos (1)$ est

0

$0$ .

f (1) = \cos (\frac{0}{2})

$f (1) = \cos (\frac{0}{2})$

Étape 1.5.2.2

Divisez

0

$0$ par

2

$2$ .

f (1) = \cos (0)

$f (1) = \cos (0)$

Étape 1.5.2.3

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

f (1) = 1

$f (1) = 1$

Étape 1.5.2.4

La réponse finale est

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Étape 1.6

Indiquez les points dans une table.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 2

La fonction trigonométrique peut être représentée en utilisant les points.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 3