Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

Étape 1

Soustrayez $3 \cos (x)$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

Étape 2

Remplacez le $2 \sin^{2} (x)$ par $2 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 5

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

Étape 6.1.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Étape 6.2

Factorisez.

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Étape 6.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

Étape 6.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Étape 6.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

Étape 6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 8

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 9

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 13.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 13.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 13.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 13.4.2

Associez les fractions.

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Étape 13.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 13.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 13.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 13.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 2$ .

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Étape 14.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Étape 17

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 17.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 17.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 17.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

Étape 17.1.3

Le côté gauche $0.03982971$ est supérieur au côté droit $- 2.96997748$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 17.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 17.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 17.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

Étape 17.2.3

Le côté gauche $0.15614604$ n’est pas supérieur au côté droit $2.88051085$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 17.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 17.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 17.3.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

Étape 17.3.3

Le côté gauche $0.33968329$ est supérieur au côté droit $- 2.73339078$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 17.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Faux

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Faux

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Vrai

Étape 18

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ou $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19