Trigonométrie Exemples

$f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2 (x^{2 - 25})}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $- 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} - 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$

Étape 2.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ comme $e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$

Étape 2.2.2

Développez $\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})$ en déplaçant $\frac{2}{x^{23}}$ hors du logarithme.

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{2}{x^{23}}$ et $\ln (x - 4)$ .

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Étape 2.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Étape 2.4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 2 e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 4)}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Étape 2.4.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Étape 2.4.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 2.4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 2.4.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}$

Étape 2.4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.7

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Étape 2.4.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 23$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{23 x^{22}}}$

Étape 2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{23 x^{22}}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{1}{23 x^{22}}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) \cdot 23 x^{22}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $\frac{1}{23}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) x^{22}}}$

Étape 2.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{(x - 4) x^{22}}$ approche de $0$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) \cdot 0}$

Étape 2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{23}$ .

$- 2 e^{\frac{2}{23} \cdot 0}$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{2}{23}$ par $0$ .

$- 2 e^{0}$

Étape 2.7.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 3

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = - 2$

Étape 4

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = - 2$

Aucune asymptote oblique

Étape 6