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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Déterminez où l’expression est indéfinie.
Étape 2
Étape 2.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.2
Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.
Étape 2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2.3
Évaluez la limite.
Étape 2.3.1
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 2.3.2
Associez et .
Étape 2.3.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.4
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Étape 2.4.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.4.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.4.1.2
Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à .
Étape 2.4.1.3
La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.
Étape 2.4.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 2.4.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.4.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 2.4.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.4.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.4.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.4.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.3.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3.6
Additionnez et .
Étape 2.4.3.7
Multipliez par .
Étape 2.4.3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 2.4.5
Multipliez par .
Étape 2.5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.6
Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction approche de .
Étape 2.7
Simplifiez la réponse.
Étape 2.7.1
Associez et .
Étape 2.7.2
Multipliez par .
Étape 2.7.3
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 2.7.4
Multipliez par .
Étape 3
Indiquez les asymptotes horizontales :
Étape 4
Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.
Aucune asymptote oblique
Étape 5
C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.
Asymptotes verticales :
Asymptotes horizontales :
Aucune asymptote oblique
Étape 6