Trigonométrie Exemples

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\tan (x) < 2 \sin (x)$ par $\tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\tan (x) < 2 \sin (x)$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Séparez les fractions.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 1.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.4

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Étape 1.3.6

Divisez $2$ par $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Étape 2

Réécrivez de sorte que $\cos (x)$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$2 \cos (x) > 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) > 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) > 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 7

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 10.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.31$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $1.31$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $3.74708097$ n’est pas inférieur au côté droit $1.9323699$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 0.14254654$ est inférieur au côté droit $0.28224001$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 3.380515$ est inférieur au côté droit $- 1.91784854$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 0.29100619$ n’est pas inférieur au côté droit $- 0.55883099$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7.59$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $7.59$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $3.69973691$ n’est pas inférieur au côté droit $1.93071743$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.6

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 12.6.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Étape 12.6.3

Le côté gauche $- 0.45231565$ est inférieur au côté droit $0.82423697$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.7

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.7.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 11$

Étape 12.7.2

Remplacez $x$ par $11$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Étape 12.7.3

Le côté gauche $- 225.95084645$ est inférieur au côté droit $- 1.99998041$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.8

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Faux

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Faux

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vrai

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Vrai

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Faux

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Faux

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vrai

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Étape 14

Associez les intervalles.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15