Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{3} \cdot \cos (π x - π) + 1$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{3}$

$b = π$

$c = π$

$d = 1$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $\frac{\cos (π x - π)}{3}$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 3.1.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 3.1.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 3.2.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 3.2.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$2$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{π}{π}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{π}{π}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $1$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $2$

Déphasage : $1$ ( $1$ à droite)

Décalage vertical : $1$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\cos (π (1) - π)}{3} + 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Soustrayez $π$ de $π (1)$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $1$ .

$f (1) = \frac{\cos (1 π - π)}{3} + 1$

Étape 6.1.2.1.2

Soustrayez $π$ de $1 π$ .

$f (1) = \frac{\cos (0)}{3} + 1$

Étape 6.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1$

Étape 6.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 6.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 + 3}{3}$

Étape 6.1.2.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (1) = \frac{4}{3}$

Étape 6.1.2.6

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (π (\frac{3}{2}) - π)}{3} + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{π \cdot 3}{2} - π)}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} - π)}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π - 2 π}{2})}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{0}{3} + 1$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0 + 1$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 1$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\cos (π (2) - π)}{3} + 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $π$ de $π (2)$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$f (2) = \frac{\cos (2 π - π)}{3} + 1$

Étape 6.3.2.1.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (2) = \frac{\cos (π)}{3} + 1$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (2) = \frac{- \cos (0)}{3} + 1$

Étape 6.3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} + 1$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (2) = \frac{- 1}{3} + 1$

Étape 6.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{1}{3} + 1$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (2) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 6.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Étape 6.3.2.3.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (2) = \frac{2}{3}$

Étape 6.3.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (π (\frac{5}{2}) - π)}{3} + 1$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{π \cdot 5}{2} - π)}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{5 π}{2} - π)}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{5 π - 2 π}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{0}{3} + 1$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{5}{2}) = 0 + 1$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{\cos (π (3) - π)}{3} + 1$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Soustrayez $π$ de $π (3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$f (3) = \frac{\cos (3 π - π)}{3} + 1$

Étape 6.5.2.1.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (3) = \frac{\cos (2 π)}{3} + 1$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (3) = \frac{\cos (0)}{3} + 1$

Étape 6.5.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} + 1$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (3) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 6.5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{1 + 3}{3}$

Étape 6.5.2.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (3) = \frac{4}{3}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 1 & \frac{4}{3} \\ \frac{3}{2} & 1 \\ 2 & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{2} & 1 \\ 3 & \frac{4}{3} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $2$

Déphasage : $1$ ( $1$ à droite)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 1 & \frac{4}{3} \\ \frac{3}{2} & 1 \\ 2 & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{2} & 1 \\ 3 & \frac{4}{3} \end{array}$

Étape 8