Trigonométrie Exemples

$\cos (x) < 0$ , $\tan (x) > 0$

Étape 1

Résolvez $\cos (x) < 0$ pour $x$ .

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Étape 1.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x < \arccos (0)$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x < \frac{π}{2}$

Étape 1.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.9.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (3) < 0$

Étape 1.9.1.3

Le côté gauche $- 0.98999249$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.9.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (6) < 0$

Étape 1.9.2.3

Le côté gauche $0.96017028$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Faux

Étape 1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Résolvez $\tan (x) > 0$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x > \arctan (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x > 0$

Étape 2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Déterminez le domaine de $\tan (x)$ .

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Étape 2.8.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (1) > 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $1.55740772$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (2) > 0$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $- 2.18503986$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez l’intersection de $\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ et $0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ .

Aucune solution