Trigonométrie Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 8 = 0$

Étape 1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x = 8$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x = 4$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 5 x$ par ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 5 x = 4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} = 4$

Étape 5

Déplacez $- \frac{25}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = 4 + \frac{25}{4}$

Étape 6

Simplifiez $4 + \frac{25}{4}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 6.2

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{4 \cdot 4 + 25}{4}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{16 + 25}{4}$

Étape 6.4.2

Additionnez $16$ et $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{41}{4}$

Étape 7

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 8

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{\sqrt{41}}{2}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = 0$

Étape 9

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{5}{2}, 0)$

Étape 10

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{5}{2}, 0)$

Rayon : $\frac{\sqrt{41}}{2}$

Étape 11