Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) > 1$

Étape 4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x > \arctan (1)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x > \frac{π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x > \frac{π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Étape 7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 8.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 8.1.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 8.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 8.1.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 9

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ est supérieur au côté droit $- 0.41614683$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (3)) > \cos (2 (3))$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 0.27941549$ n’est pas supérieur au côté droit $0.96017028$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Vrai

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Faux

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Vrai

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 14