Trigonométrie Exemples

$y = 4 (x - 13) (x + 5)$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $4 (x - 13) (x + 5)$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x + 4 \cdot - 13) (x + 5)$

Étape 1.1.1.1.2

Multipliez $4$ par $- 13$ .

$(4 x - 52) (x + 5)$

Étape 1.1.1.1.3

Développez $(4 x - 52) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x (x + 5) - 52 (x + 5)$

Étape 1.1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 (x + 5)$

Étape 1.1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Étape 1.1.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Étape 1.1.1.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Étape 1.1.1.1.4.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 52 \cdot 5$

Étape 1.1.1.1.4.1.3

Multipliez $- 52$ par $5$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 260$

Étape 1.1.1.1.4.2

Soustrayez $52 x$ de $20 x$ .

$4 x^{2} - 32 x - 260$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = - 260$

Étape 1.1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 1.1.1.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Étape 1.1.1.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.1.1.4.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.1.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 260 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{16}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3

Divisez $1024$ par $16$ .

$e = - 260 - 1 \cdot 64$

Étape 1.1.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = - 260 - 64$

Étape 1.1.1.5.2.2

Soustrayez $64$ de $- 260$ .

$e = - 324$

Étape 1.1.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 4)}^{2} - 324$ .

$4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 4$

$h = 4$

$k = - 324$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, - 324)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{16}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - \frac{5183}{16})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 4$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{5185}{16}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 324)$

Foyer : $(4, - \frac{5183}{16})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{5185}{16}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 324)$

Foyer : $(4, - \frac{5183}{16})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{5185}{16}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 4 ((3) - 13) ((3) + 5)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $13$ de $3$ .

$f (3) = 4 \cdot (- 10 ((3) + 5))$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$f (3) = - 40 ((3) + 5)$

Étape 2.2.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (3) = - 40 \cdot 8$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 40$ par $8$ .

$f (3) = - 320$

Étape 2.2.5

La réponse finale est $- 320$ .

$- 320$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- 320$ .

$y = - 320$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 4 ((2) - 13) ((2) + 5)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Soustrayez $13$ de $2$ .

$f (2) = 4 \cdot (- 11 ((2) + 5))$

Étape 2.5.2

Multipliez $4$ par $- 11$ .

$f (2) = - 44 ((2) + 5)$

Étape 2.5.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$f (2) = - 44 \cdot 7$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 44$ par $7$ .

$f (2) = - 308$

Étape 2.5.5

La réponse finale est $- 308$ .

$- 308$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- 308$ .

$y = - 308$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = 4 ((5) - 13) ((5) + 5)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Soustrayez $13$ de $5$ .

$f (5) = 4 \cdot (- 8 ((5) + 5))$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f (5) = - 32 ((5) + 5)$

Étape 2.8.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$f (5) = - 32 \cdot 10$

Étape 2.8.4

Multipliez $- 32$ par $10$ .

$f (5) = - 320$

Étape 2.8.5

La réponse finale est $- 320$ .

$- 320$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $- 320$ .

$y = - 320$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = 4 ((6) - 13) ((6) + 5)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Soustrayez $13$ de $6$ .

$f (6) = 4 \cdot (- 7 ((6) + 5))$

Étape 2.11.2

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$f (6) = - 28 ((6) + 5)$

Étape 2.11.3

Additionnez $6$ et $5$ .

$f (6) = - 28 \cdot 11$

Étape 2.11.4

Multipliez $- 28$ par $11$ .

$f (6) = - 308$

Étape 2.11.5

La réponse finale est $- 308$ .

$- 308$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $- 308$ .

$y = - 308$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 324)$

Foyer : $(4, - \frac{5183}{16})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{5185}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Étape 4