Trigonométrie Exemples

$x^{2} - 5 y^{2} = 6$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Étape 1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}$

Étape 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$

Étape 1.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$ .

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Étape 1.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 1.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 1.4.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 1.4.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 1.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 1.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 1.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 1.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5}$

Étape 1.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$

Étape 1.4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Étape 1.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Étape 1.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Étape 1.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Étape 2

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 (- 6 + x^{2}) \geq 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez $5 (- 6 + x^{2})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot - 6 + 5 x^{2} \geq 0$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$- 30 + 5 x^{2} \geq 0$

Étape 2.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

Étape 2.2.3

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$

$x > \sqrt{6}$

Étape 2.2.4

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.2.4.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.2.4.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 2.2.4.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (- 6 + {(- 5)}^{2}) \geq 0$

Étape 2.2.4.1.3

Le côté gauche $95$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.2.4.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.2.4.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.2.4.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (- 6 + {(0)}^{2}) \geq 0$

Étape 2.2.4.2.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.2.4.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.2.4.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.2.4.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (- 6 + {(5)}^{2}) \geq 0$

Étape 2.2.4.3.3

Le côté gauche $95$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.2.4.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{6}$ Vrai

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Faux

$x > \sqrt{6}$ Vrai

$x < - \sqrt{6}$ Vrai

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Faux

$x > \sqrt{6}$ Vrai

Étape 2.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \sqrt{6}$ ou $x \geq \sqrt{6}$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Étape 3

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 4