Trigonométrie Exemples

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + 3 \log_{7} (x) + \frac{2}{5} \cdot \log_{7} (y)$

Étape 1

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{7} (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3}) + \frac{2}{5} \cdot \log_{7} (y)$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez $\frac{2}{5} \log_{7} (y)$ en déplaçant $\frac{2}{5}$ dans le logarithme.

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3}) + \log_{7} (y^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{5}}$ .

$\log_{7} (49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}) = 7 + \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{7} (49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}) - \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}}) = 7$

Étape 1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}}{x^{3} y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun.

$\log_{7} (\frac{49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}}{x^{3} y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression.

$\log_{7} (\frac{49 y^{\frac{2}{5}}}{y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun.

$\log_{7} (\frac{49 y^{\frac{2}{5}}}{y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Divisez $49$ par $1$ .

$\log_{7} (49) = 7$

Étape 1.8.2

La base logarithmique $7$ de $49$ est $2$ .

$2 = 7$

Étape 1.9

Comme $2 \neq 7$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Une équation linéaire est une équation d’une droite, ce qui signifie que le degré d’une équation linéaire doit être $0$ ou $1$ pour chacune de ses variables. Dans ce cas, il n’y a pas de variable dans l’équation.

Linéaire