Trigonométrie Exemples

$\sin (165) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (165)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (15) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.2

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (45 - 30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.3

Séparez la négation.

$\sin (45 - (30)) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.4

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sin (45) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (135) \sin (30)$

Étape 2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (45) \sin (30)$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Étape 2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.8

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 3