Trigonométrie Exemples

$\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1

Simplifiez $\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15)$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (45 - 30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.2

Séparez la négation.

$\sin (45 - (30)) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.3.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - 30) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.2

Séparez la négation.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.3.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.8.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.8.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.8.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.8.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.1.8.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{12} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5.4

Additionnez $3 \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5.5

Additionnez $- 3 \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 0}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.5.6

Additionnez $4 \sqrt{6}$ et $0$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{4 (\sqrt{6})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Étape 2

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2}$

Étape 3