Trigonométrie Exemples

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 2

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 2.2

Factorisez $- x$ à partir de $4 x$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$f (x) = - x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 3

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$f (x) = - x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Étape 6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24$

Étape 7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ et dont la somme est $b = - 58$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 58$ à partir de $- 58 u$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Étape 8.1.2

Réécrivez $- 58$ comme $- 4$ plus $- 54$

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4)$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 4$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6)$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Étape 10

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Étape 11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6)$

Étape 12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Étape 13

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 13.1

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Étape 13.2

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6)$

Étape 14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6)$

Étape 15

Factorisez $- u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 15.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 15.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2))$

Étape 16

Factorisez.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2))$

Étape 16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2)$