Trigonométrie Exemples

$f (x) = 9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = 10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Étape 2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} + 20 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$f (x) = 10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Étape 2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $20 x$ .

$f (x) = 10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Étape 2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ et dont la somme est $b = 19$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $19$ à partir de $19 u$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2$

Étape 5.1.2

Réécrivez $19$ comme $1$ plus $18$

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2$

Étape 5.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1)$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 1$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $10 x (x^{2} + 2)$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1)$

Étape 9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1)$

Étape 9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 u$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1)$

Étape 9.2.2

Réécrivez $10$ comme $1$ plus $9$

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1)$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1)$

Étape 9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1)$

Étape 9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1)$

Étape 9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1))$

Étape 9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1)$