Trigonométrie Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 45$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 4 x^{3} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 36 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $36 x$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 9 + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 9)$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 45$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 4 u - 45$

Étape 7

Factorisez $u^{2} - 4 u - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 9, 5$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 5)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 5)$

Étape 9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 5)$

Étape 10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Étape 11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- 4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x + x^{2} + 5)$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 4 x + 5)$