Trigonométrie Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 50 x + 75$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 2 x^{3} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} + 50 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $50 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 25 + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 25)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (x) = - 2 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 75$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 28 u + 75$

Étape 7

Factorisez $u^{2} - 28 u + 75$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $75$ et dont la somme est $- 28$ .

$- 25, - 3$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u - 3)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} - 3)$

Étape 9

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 3)$

Étape 10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Étape 11

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $- 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $- 2 x (x + 5) (x - 5)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x + x^{2} - 3)$

Étape 12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 u + u^{2} - 3)$

Étape 13

Factorisez $- 2 u + u^{2} - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((u - 3) (u + 1))$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((x - 3) (x + 1))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (x - 3) (x + 1)$