Trigonométrie Exemples

$(2 \sin (x) - \sqrt{3}) (3 \sec (x) + 2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1

Simplifiez $(2 \sin (x) - \sqrt{3}) (3 \sec (x) + 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(2 \sin (x) - \sqrt{3}) (3 \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(2 \sin (x) - \sqrt{3}) (\frac{3}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.2

Développez $(2 \sin (x) - \sqrt{3}) (\frac{3}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) (\frac{3}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\frac{3}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \frac{3}{\cos (x)} + 2 \sin (x) (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\frac{3}{\cos (x)} + 2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \frac{3}{\cos (x)} + 2 \sin (x) (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \frac{3}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $2 \sin (x) \frac{3}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Associez $\frac{3}{\cos (x)}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \sin (x) (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \frac{3}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \sin (x) (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \frac{3}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.1.3

Associez $\frac{6}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \frac{3}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \sqrt{3} \frac{3}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.3

Associez $\frac{3}{\cos (x)}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = 0$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) = 0$

Étape 1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) = 0$

Étape 1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} = 0$

Étape 1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 {\sqrt{3}}^{2} = 0$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0$

Étape 1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0$

Étape 1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = 0$

Étape 1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = 0$

Étape 1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \cdot 3^{1} = 0$

Étape 1.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 2 \cdot 3 = 0$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 6 = 0$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Séparez les fractions.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 6 = 0$

Étape 1.3.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{6}{1} \tan (x) + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 6 = 0$

Étape 1.3.2.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \tan (x) + 4 \sin (x) \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (x)} - 6 = 0$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3