Trigonométrie Exemples

$\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Étape 1

Simplifiez $\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 3 \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1 + 3 \sin (x)$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} - 12 = 0$

Étape 1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))$ .

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.2

Développez $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.4

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.6.1.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.3.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 1.6.1.5.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + 1)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (2 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \sin (x)$ .

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Étape 1.6.1.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3 (2 \cdot 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 (2 (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

$\frac{3 \cdot 2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $1 + \sin (x)$ .

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Étape 1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{\cos (x)} - 12 = 0$

Étape 1.6.3

Séparez les fractions.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 12 = 0$

Étape 1.6.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{6}{1} \sec (x) - 12 = 0$

Étape 1.6.5

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \sec (x) - 12 = 0$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3