Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)} + \frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)} = 0$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)} + \frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cot (x)}{1 - \cot (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)} \cdot \frac{1 - \cot (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)} = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)} \cdot \frac{1 - \cot (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)} \cdot \frac{1 - \tan (x)}{1 - \tan (x)} = 0$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \tan (x)) (1 - \cot (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ par $\frac{1 - \cot (x)}{1 - \cot (x)}$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \cot (x))}{(1 - \tan (x)) (1 - \cot (x))} + \frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)} \cdot \frac{1 - \tan (x)}{1 - \tan (x)} = 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1 + \cot (x)}{1 - \cot (x)}$ par $\frac{1 - \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \cot (x))}{(1 - \tan (x)) (1 - \cot (x))} + \frac{(1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \tan (x)) (1 - \cot (x))$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \cot (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} + \frac{(1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Développez $(1 + \tan (x)) (1 - \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \cot (x)) + \tan (x) (1 - \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cot (x)) + \tan (x) (1 - \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cot (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cot (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $- \cot (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \cot (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.4

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $\tan (x)$ et $- \cot (x)$ .

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) - \cot (x) \tan (x) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.4.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) - (\cot (x) \tan (x)) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.4.3

Réécrivez $\tan (x) (- \cot (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.4.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) - 1 \cdot 1 + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cot (x) + \tan (x) - 1 + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \cot (x) + \tan (x) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.2.3

Soustrayez $\cot (x)$ de $0$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + (1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.3

Développez $(1 + \cot (x)) (1 - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 (1 - \tan (x)) + \cot (x) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \cot (x) (1 - \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 + 1 (- \tan (x)) + \cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.2

Multipliez $- \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.3

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) + \cot (x) (- \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.4

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.1.4.1

Remettez dans l’ordre $\cot (x)$ et $- \tan (x)$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - \tan (x) \cot (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.4.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - (\tan (x) \cot (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.4.3

Remettez dans l’ordre $\tan (x)$ et $\cot (x)$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - (\cot (x) \tan (x))}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.4.4

Réécrivez $\cot (x) (- \tan (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.4.5

Annulez les facteurs communs.

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - 1 \cdot 1}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 1 - \tan (x) + \cot (x) - 1}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) + 0 - \tan (x) + \cot (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.4.3

Soustrayez $\tan (x)$ de $0$ .

$\frac{- \cot (x) + \tan (x) - \tan (x) + \cot (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.5

Additionnez $- \cot (x)$ et $\cot (x)$ .

$\frac{0 + \tan (x) - \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.6

Additionnez $0$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.5.7

Soustrayez $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$\frac{0}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))} = 0$

Étape 1.6

Divisez $0$ par $(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))$ .

$0 = 0$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.1, 0.1, - \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Étape 3