Trigonométrie Exemples

2 {sin}^{2} (x) - sin (x) = 0

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de

sin (x)

$\sin (x)$ par

u

$u$ .

2 u^{2} - u = 0

$2 u^{2} - u = 0$

Étape 1.2

Factorisez

u

$u$ à partir de

2 u^{2} - u

$2 u^{2} - u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez

u

$u$ à partir de

2 u^{2}

$2 u^{2}$ .

u (2 u) - u = 0

$u (2 u) - u = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez

u

$u$ à partir de

- u

$- u$ .

u (2 u) + u \cdot - 1 = 0

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez

u

$u$ à partir de

u (2 u) + u \cdot - 1

$u (2 u) + u \cdot - 1$ .

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

sin (x)

$\sin (x)$ .

sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez

sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.1

Définissez

sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ est

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - 0

$x = π - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez

0

$0$ de

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de

sin (x)

$\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction

sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 4

Définissez

2 sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

2 sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ égal à

0

$0$ .

2 sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

2 sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

2 sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans

2 sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans

2 sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ est

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.3.1

Déplacez

$6$ à gauche de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.2.6.3.2

Soustrayez

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

Consolidez

$2 π n$ et

$π + 2 π n$ en

$π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$