Trigonométrie Exemples

$2 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 2 = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$\cos (2 x) = 0$

Étape 2

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\sin (2 x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 2.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 2.2.5.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 2.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\cos (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (2 x)$ égal à $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (2 x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 3.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.5.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.5.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 2 = 0$ vraie.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$