Trigonométrie Exemples

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 2 \cos (\frac{x}{2})$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 2

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ à $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2}{1} \cdot \tan (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \tan (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (\frac{x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 5.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 \tan (\frac{x}{2}) = 2$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (\frac{x}{2}) = 2$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{x}{2})}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (\frac{x}{2})}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\tan (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{2}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 9

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 10

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 10.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 10.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 11

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Étape 12

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 12.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 12.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 12.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Simplifiez $2 (π + \frac{π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Étape 12.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Étape 12.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 12.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Étape 12.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Étape 12.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Étape 12.2.2.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Étape 13

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 13.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 13.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 13.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 14

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$