Trigonométrie Exemples

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(2 x - 1) (4 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Étape 3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $36$ de $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = 2$ et $c = - 39$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $4$ et $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $1252$ comme $2^{2} \cdot 313$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $1252$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ vrai.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Forme décimale :

$x = 2.08647575 \dots$