Trigonométrie Exemples

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\log (3 x - 4), 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\log (3 x - 4)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ par $\log (3 x - 4)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ par $\log (3 x - 4)$ .

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\log (3 x - 4)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\log (16 - x^{2}) = 2 \log (3 x - 4)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \log (3 x - 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (16 - x^{2}) = \log ({(3 x - 4)}^{2})$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$16 - x^{2} = {(3 x - 4)}^{2}$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(3 x - 4)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez.

$16 - x^{2} = 0 + 0 + {(3 x - 4)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez ${(3 x - 4)}^{2}$ comme $(3 x - 4) (3 x - 4)$ .

$16 - x^{2} = (3 x - 4) (3 x - 4)$

Étape 3.2.1.3

Développez $(3 x - 4) (3 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4)$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4$

Étape 3.2.1.4.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16$

Étape 3.2.1.4.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$

Étape 3.2.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} - 24 x + 16 = 16 - x^{2}$

Étape 3.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 24 x + 16 + x^{2} = 16$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$10 x^{2} - 24 x + 16 = 16$

Étape 3.2.4

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$10 x^{2} - 24 x + 16 - 16 = 0$

Étape 3.2.5

Associez les termes opposés dans $10 x^{2} - 24 x + 16 - 16$ .

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$10 x^{2} - 24 x + 0 = 0$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $10 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$10 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 3.2.6

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{2}$ .

$2 x (5 x) - 24 x = 0$

Étape 3.2.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 24 x$ .

$2 x (5 x) + 2 x (- 12) = 0$

Étape 3.2.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (5 x) + 2 x (- 12)$ .

$2 x (5 x - 12) = 0$

Étape 3.2.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x - 12 = 0$

Étape 3.2.8

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.9

Définissez $5 x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.9.1

Définissez $5 x - 12$ égal à $0$ .

$5 x - 12 = 0$

Étape 3.2.9.2

Résolvez $5 x - 12 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.9.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 12$

Étape 3.2.9.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 12$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 12$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Étape 3.2.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Étape 3.2.9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{5}$

Étape 3.2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (5 x - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{12}{5}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ vrai.

$x = \frac{12}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{12}{5}$

Forme décimale :

$x = 2.4$

Forme de nombre mixte :

$x = 2 \frac{2}{5}$