Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \csc (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\csc (x)$ par $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\csc (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\csc (x) - 2$ égal à $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\csc (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = 2$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $arccsc (2)$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 3.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\csc (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\csc (x) + 1$ égal à $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\csc (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $arccsc (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$