Trigonométrie Exemples

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez

u = csc (x)

$u = \csc (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de

csc (x)

$\csc (x)$ par

u

$u$ .

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

- 2

$- 2$ et dont la somme est

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

csc (x)

$\csc (x)$ .

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.1

Définissez

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ égal à

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

csc (x) = 2

$\csc (x) = 2$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la cosécante.

x = arccsc (2)

$x = arccsc (2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de

arccsc (2)

$arccsc (2)$ est

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5

Simplifiez

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.2.5.1

Pour écrire

π

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.2.1

Associez

π

$π$ et

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.3.1

Déplacez

6

$6$ à gauche de

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 3.2.5.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de

csc (x)

$\csc (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction

csc (x)

$\csc (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4

Définissez

$\csc (x) + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

$\csc (x) + 1$ égal à

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

$\csc (x) + 1 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de

$arccsc (- 1)$ est

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de

$\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à

$2 π$ et coterminal avec

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de

$\csc (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

Ajoutez

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez

$2 π$ à

$- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.3.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.7.4.2

Soustrayez

$π$ de

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.8

La période de la fonction

$\csc (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier

$n$