Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) = {(- \frac{1}{5})}^{2} + 1$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{5}$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Étape 2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Étape 2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 1}$

Étape 2.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + 1}$

Étape 2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{25}{25}}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1 + 25}{25}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $25$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{26}{25}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{26}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$

Étape 2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{5}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}, - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$ .

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Étape 5.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Évaluez $arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = 1.37340076$

Étape 5.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Étape 5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 1.37340076$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Étape 5.4.3

Soustrayez $1.37340076$ de $3.14159265$ .

$x = 1.76819188$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$ .

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Étape 6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = - 1.37340076$

Étape 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $4.51499342$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ .

$x = 4.51499342$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.37340076$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.37340076 + 2 π$

Étape 6.6.2

Soustrayez $1.37340076$ de $2 π$ .

$4.90978454$

Étape 6.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 4.90978454$

Étape 6.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les solutions.

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Étape 8.1

Consolidez $1.37340076 + 2 π n$ et $4.51499342 + 2 π n$ en $1.37340076 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $1.76819188 + 2 π n$ et $4.90978454 + 2 π n$ en $1.76819188 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + π n$ , pour tout entier $n$