Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 1

Remplacez le $\csc^{2} (x)$ par $\cot^{2} (x) + 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + 1 \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 2.2

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.6

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.2

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (x) + 1 - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 4

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 = \tan^{2} (x)$

Étape 5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\tan^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $\tan (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $\tan^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x)$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$0 - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 = 0$

Étape 7

Comme $- 1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution