Trigonométrie Exemples

{cot}^{4} (x) - 4 {cot}^{2} (x) + 3 = 0

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez

{cot}^{4} (x)

$\cot^{4} (x)$ comme

${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 1.2

Laissez

$u = \cot^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de

$\cot^{2} (x)$ par

$u$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Étape 1.3

Factorisez

$u^{2} - 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

$c$ et dont la somme est

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

$3$ et dont la somme est

$- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez

$\cot^{2} (x) - 3$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez

$\cot^{2} (x) - 3$ égal à

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$ pour

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) = 3$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour

$x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.5

Résolvez

$x$ dans

$\cot (x) = \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

La valeur exacte de

$arccot (\sqrt{3})$ est

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4

Simplifiez

$π + \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.4.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.4.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 3.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.4.3.1

Déplacez

$6$ à gauche de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 3.2.5.4.3.2

Additionnez

$6 π$ et

$π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 3.2.5.5

Déterminez la période de

$\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.5.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.5.5.4

Divisez

$π$ par

$1$ .

$π$

Étape 3.2.5.6

La période de la fonction

$\cot (x)$ est

$π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 3.2.6

Résolvez

$x$ dans

$\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.2.1

La valeur exacte de

$arccot (- \sqrt{3})$ est

$\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Étape 3.2.6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.4.1

Ajoutez

$2 π$ à

$\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Étape 3.2.6.4.2

L’angle résultant de

$\frac{11 π}{6}$ est positif et coterminal avec

$\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 3.2.6.5

Déterminez la période de

$\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.5.4

Divisez

$π$ par

$1$ .

$π$

Étape 3.2.6.6

La période de la fonction

$\cot (x)$ est

$π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 3.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 3.2.8

Consolidez les solutions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1

Consolidez

$\frac{π}{6} + π n$ et

$\frac{7 π}{6} + π n$ en

$\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 3.2.8.2

Consolidez

$\frac{5 π}{6} + π n$ et

$\frac{11 π}{6} + π n$ en

$\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4

Définissez

$\cot^{2} (x) - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez

$\cot^{2} (x) - 1$ égal à

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$ pour

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) = 1$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.2.3

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = 1$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - 1$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = 1, - 1$

Étape 4.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour

$x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Étape 4.2.6

Résolvez

$x$ dans

$\cot (x) = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

La valeur exacte de

$arccot (1)$ est

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4

Simplifiez

$π + \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.3.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.6.4.3.2

Additionnez

$4 π$ et

$π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.6.5

Déterminez la période de

$\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.5.4

Divisez

$π$ par

$1$ .

$π$

Étape 4.2.6.6

La période de la fonction

$\cot (x)$ est

$π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4.2.7

Résolvez

$x$ dans

$\cot (x) = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.2.1

La valeur exacte de

$arccot (- 1)$ est

$\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.4.1

Ajoutez

$2 π$ à

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 4.2.7.4.2

L’angle résultant de

$\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.7.5

Déterminez la période de

$\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.7.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.7.5.4

Divisez

$π$ par

$1$ .

$π$

Étape 4.2.7.6

La période de la fonction

$\cot (x)$ est

$π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$