Trigonométrie Exemples

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot^{4} (x)$ comme ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = \cot^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cot^{2} (x)$ par $u$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\cot^{2} (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cot^{2} (x) - 3$ égal à $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) = 3$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.5

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 3.2.5.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.2.1

La valeur exacte de $arccot (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.2.5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 3.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 3.2.5.4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 3.2.5.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.5.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.5.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 3.2.6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.2.1

La valeur exacte de $arccot (- \sqrt{3})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Étape 3.2.6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.4.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Étape 3.2.6.4.2

L’angle résultant de $\frac{11 π}{6}$ est positif et coterminal avec $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 3.2.6.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.6.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.8

Consolidez les solutions.

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Étape 3.2.8.1

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.8.2

Consolidez $\frac{5 π}{6} + π n$ et $\frac{11 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cot^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cot^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) = 1$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = 1$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - 1$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = 1, - 1$

Étape 4.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = 1$ .

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Étape 4.2.6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.6.2.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.3

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.6.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.6.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.7

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - 1$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.7.2.1

La valeur exacte de $arccot (- 1)$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.4.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 4.2.7.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.7.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$