Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) - 8 \cot (x) + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cot (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cot (x)$ par $u$ .

$u^{2} - 8 u + 12 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 8 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 6) (u - 2) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot (x)$ .

$(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

$\cot (x) - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $\cot (x) - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cot (x) - 6$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cot (x) - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 6$

Étape 3.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (6)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $arccot (6)$ .

$x = 0.16514867$

Étape 3.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Étape 3.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.16514867$

Étape 3.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Étape 3.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.16514867$ .

$x = 3.30674133$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cot (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cot (x) - 2$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cot (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 2$

Étape 4.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (2)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Évaluez $arccot (2)$ .

$x = 0.4636476$

Étape 4.2.4

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 4.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Étape 4.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

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Étape 6.1

Consolidez $0.16514867 + π n$ et $3.30674133 + π n$ en $0.16514867 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2

Consolidez $0.4636476 + π n$ et $3.60524026 + π n$ en $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n$ , pour tout entier $n$