Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) + 6 \cot (x) - 2 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cot (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $36$ et $8$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{11}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\cot (x)$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$

$\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$ .

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Étape 8.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\cot (x) = 0.31662479$

Étape 8.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0.31662479)$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Évaluez $arccot (0.31662479)$ .

$x = 1.26415806$

Étape 8.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Étape 8.5

Résolvez $x$ .

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.26415806$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Étape 8.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.26415806$ .

$x = 4.40575072$

Étape 8.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 8.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 8.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 8.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$ .

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Étape 9.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\cot (x) = - 6.31662479$

Étape 9.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 6.31662479)$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Évaluez $arccot (- 6.31662479)$ .

$x = 2.9845833$

Étape 9.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.9845833 - (3.14159265)$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.5.1

Ajoutez $2 π$ à $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 2.9845833 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 9.5.2

L’angle résultant de $6.12617595$ est positif et coterminal avec $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 6.12617595$

Étape 9.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 9.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les solutions.

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Étape 11.1

Consolidez $1.26415806 + π n$ et $4.40575072 + π n$ en $1.26415806 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $2.9845833 + π n$ et $6.12617595 + π n$ en $2.9845833 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n$ , pour tout entier $n$