Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (A) \csc (A)}{\sec (A)} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{\cot (A) \csc (A)}{\sec (A)}$ .

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Étape 1.1

Séparez les fractions.

$\frac{\csc (A)}{1} \cdot \frac{\cot (A)}{\sec (A)} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\csc (A)}{1} \cdot \frac{\cot (A)}{\frac{1}{\cos (A)}} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.3

Réécrivez $\cot (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\csc (A)}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)}} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{\csc (A)}{1} \cdot \frac{\cos (A) \cos (A)}{\sin (A)} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.5

Convertissez de $\frac{\cos (A) \cos (A)}{\sin (A)}$ à $\cos (A) \cot (A)$ .

$\frac{\csc (A)}{1} (\cos (A) \cot (A)) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.6

Divisez $\csc (A)$ par $1$ .

$\csc (A) (\cos (A) \cot (A)) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.7

Réécrivez $\csc (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (A)} \cos (A) \cot (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.8

Associez $\frac{1}{\sin (A)}$ et $\cos (A)$ .

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cot (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.9

Convertissez de $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ à $\cot (A)$ .

$\cot (A) \cot (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.10

Multipliez $\cot (A) \cot (A)$ .

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Étape 1.10.1

Élevez $\cot (A)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{1} (A) \cot (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.10.2

Élevez $\cot (A)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{1} (A) \cot^{1} (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cot (A)}^{1 + 1} = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot^{2} (A) = \frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\cot^{2} (A) + 1}{\tan^{2} (A) + 1}$ .

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Étape 2.1

Réorganisez les termes.

$\cot^{2} (A) = \frac{1 + \cot^{2} (A)}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cot^{2} (A) = \frac{\csc^{2} (A)}{\tan^{2} (A) + 1}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cot^{2} (A) = \frac{\csc^{2} (A)}{\sec^{2} (A)}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{\csc^{2} (A)}{\sec^{2} (A)}$ comme ${(\frac{\csc (A)}{\sec (A)})}^{2}$ .

$\cot^{2} (A) = {(\frac{\csc (A)}{\sec (A)})}^{2}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sec (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cot^{2} (A) = {(\frac{\csc (A)}{\frac{1}{\cos (A)}})}^{2}$

Étape 2.6

Réécrivez $\csc (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cot^{2} (A) = {(\frac{\frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)}})}^{2}$

Étape 2.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\cot^{2} (A) = {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}$

Étape 2.8

Convertissez de $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ à $\cot (A)$ .

$\cot^{2} (A) = \cot^{2} (A)$

Étape 3

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$A = A$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $A$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $A$ des deux côtés de l’équation.

$A - A = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $A$ de $A$ .

$0 = 0$

Étape 5

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $A$ .

Tous les nombres réels

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$