Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 3.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 3.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cos (x) + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x) + 2$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 2$

Étape 4.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$