Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Étape 2.1.4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6.3

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6.4

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6.5

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.1.6.6

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Étape 3

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 4

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 6

Simplifiez $\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ .

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Étape 6.1

Déplacez $- 1$ .

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 6.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 6.3

Additionnez $\cot^{2} (x)$ et $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 7

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

Étape 8

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 \cot^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Étape 8.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

Étape 8.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 8.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 8.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 8.3

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 8.4

Pour écrire $- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Étape 8.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Étape 8.5.2

Multipliez $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.5.3

Réorganisez les facteurs de $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

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Étape 8.7.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.7.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.7.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.8

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Étape 8.9

Séparez les fractions.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 8.10

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

Étape 8.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

Étape 8.12

Associez $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ et $\cot (x)$ .

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

Étape 8.13

Séparez les fractions.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 8.14

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

Étape 8.15

Réécrivez $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Étape 8.16

Simplifiez

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Étape 8.16.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Étape 8.16.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

Étape 8.17

Multipliez $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ .

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Étape 8.17.1

Associez $\cot (x)$ et $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

Étape 8.17.2

Associez $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ et $\csc (x)$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

Étape 8.18

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

Étape 9

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 10.2

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 10.2.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 10.2.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 10.2.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 10.2.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 10.2.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.2.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.2.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.2.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.2.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.3

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 10.3.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10.4

Définissez $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Définissez $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 10.4.2

Résolvez $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.4.2.1

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 10.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 10.4.2.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.4.2.2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 10.4.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.2.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.2.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.4.2.2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

Étape 10.4.2.2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 10.4.2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.4

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.4.2.2.4.1

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Étape 10.4.2.2.4.2

Résolvez $- \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.4.2.2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 1$

Étape 10.4.2.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.4.2.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.2.2.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 10.4.2.2.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 10.4.2.2.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.2.2.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 10.4.2.2.4.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 10.4.2.2.4.2.6

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 10.4.2.2.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.4.2.2.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.4.2.2.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.4.2.2.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4.2.2.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.4.2.2.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.4.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

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Étape 11.1

Consolidez $\frac{π}{2} + π n$ et $\frac{3 π}{2} + π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ vrai.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$