Trigonométrie Exemples

$\frac{9}{\sin (A)} = \frac{7}{\sin (15)}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Séparez les fractions.

$\frac{9}{\sin (A)} = \frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\sin (15)}$

Étape 1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (15)}$ à $\csc (15)$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = \frac{7}{1} \csc (15)$

Étape 1.3

Divisez $7$ par $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \csc (15)$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\csc (15)$ est $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \csc (45 - 30)$

Étape 1.4.2

Séparez la négation.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \csc (45 - (30))$

Étape 1.4.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\sec (45) \sec (30) \csc (45) \csc (30)}{\sec (45) \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.4

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (30) \csc (45) \csc (30)}{\sec (45) \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.5

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) \csc (30)}{\sec (45) \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.6

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (30)}{\sec (45) \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.7

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sec (45) \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.8

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.9

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \csc (45) \sec (30)}$

Étape 1.4.10

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \sec (30)}$

Étape 1.4.11

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12

Simplifiez $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Étape 1.4.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.12.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.1.2

Associez $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.1.3

Associez $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ et $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.12.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.12.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.12.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.12.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.12.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}$

Étape 1.4.12.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.12.2.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Étape 1.4.12.2.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Étape 1.4.12.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Étape 1.4.12.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.12.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.12.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Étape 1.4.12.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.6

Multipliez $- \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.4.12.2.6.1

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.7

Pour écrire $2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.8

Associez $2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.12.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.12.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.12.5.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{6}$ en un radical unique.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 1.4.12.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.12.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.12.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.12.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.12.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.5.7

Associez $8$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 1.4.12.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Étape 1.4.12.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.12.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Étape 1.4.12.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Étape 1.4.12.8

Associez $\frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ et $8$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Étape 1.4.12.9

Associez $\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Étape 1.4.12.10

Annulez le facteur commun à $8$ et $6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 1.4.12.10.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Étape 1.4.12.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.12.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{6}}$

Étape 1.4.12.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})}$

Étape 1.4.12.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Étape 1.4.12.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Étape 1.4.12.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Étape 1.4.12.11

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}})$

Étape 1.4.12.12

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Étape 1.4.12.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 1.4.12.14

Simplifiez

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{12}$

Étape 1.4.12.15

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.4.12.15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{12}$

Étape 1.4.12.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.12.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Étape 1.4.12.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Étape 1.4.12.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{3}$

Étape 1.4.12.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Étape 1.4.12.17

Multipliez $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 1.4.12.17.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Étape 1.4.12.17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Étape 1.4.12.18

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Étape 1.4.12.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.12.19.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{18}}{3}$

Étape 1.4.12.19.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.4.12.19.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{9 (2)}}{3}$

Étape 1.4.12.19.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 1.4.12.19.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.4.12.20

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$ et $3$ .

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Étape 1.4.12.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.4.12.20.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})}{3}$

Étape 1.4.12.20.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 1.4.12.20.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.12.20.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 (1)}$

Étape 1.4.12.20.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 1.4.12.20.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{1}$

Étape 1.4.12.20.4.4

Divisez $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{\sin (A)} = 7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\sin (A), 1, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\sin (A)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{9}{\sin (A)} = 7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$ par $\sin (A)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{9}{\sin (A)} = 7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$ par $\sin (A)$ .

$\frac{9}{\sin (A)} \sin (A) = 7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (A)$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{\sin (A)} \sin (A) = 7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 = 7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A)$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A) = 9$ .

$7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A) = 9$

Étape 4.2

Factorisez $7 \sin (A)$ à partir de $7 \sqrt{6} \sin (A) + 7 \sqrt{2} \sin (A)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $7 \sin (A)$ à partir de $7 \sqrt{6} \sin (A)$ .

$7 \sin (A) \sqrt{6} + 7 \sqrt{2} \sin (A) = 9$

Étape 4.2.2

Factorisez $7 \sin (A)$ à partir de $7 \sqrt{2} \sin (A)$ .

$7 \sin (A) \sqrt{6} + 7 \sin (A) \sqrt{2} = 9$

Étape 4.2.3

Factorisez $7 \sin (A)$ à partir de $7 \sin (A) \sqrt{6} + 7 \sin (A) \sqrt{2}$ .

$7 \sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $7 \sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9$ par $7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $7 \sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9$ par $7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$ .

$\frac{7 \sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $7$ et $7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 \sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{7 (\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 \sqrt{6}$ .

$\frac{7 (\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{7 (\sqrt{6}) + 7 \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Factorisez $7$ à partir de $7 \sqrt{2}$ .

$\frac{7 (\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{7 (\sqrt{6}) + 7 (\sqrt{2})} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (\sqrt{6}) + 7 (\sqrt{2})$ .

$\frac{7 (\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{7 (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{7 (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Divisez $\sin (A)$ par $1$ .

$\sin (A) = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$ par $\frac{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}} \cdot \frac{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{9}{7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}}$ par $\frac{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}{7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{9 (7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2})}{(7 \sqrt{6} + 7 \sqrt{2}) (7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2})}$

Étape 4.3.3.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sin (A) = \frac{9 (7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2})}{49 {\sqrt{6}}^{2} - 49 \sqrt{12} + 49 \sqrt{12} - 49 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez

$\sin (A) = \frac{9 (7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2})}{196}$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun à $7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2}$ et $196$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Factorisez $7$ à partir de $9 (7 \sqrt{6} - 7 \sqrt{2})$ .

$\sin (A) = \frac{7 (9 (\sqrt{6} - \sqrt{2}))}{196}$

Étape 4.3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $196$ .

$\sin (A) = \frac{7 (9 (\sqrt{6} - \sqrt{2}))}{7 (28)}$

Étape 4.3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = \frac{7 (9 (\sqrt{6} - \sqrt{2}))}{7 \cdot 28}$

Étape 4.3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = \frac{9 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{28}$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{9 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{28})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Évaluez $\arcsin (\frac{9 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{28})$ .

$A = 19.43682832$

Étape 7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 19.43682832$

Étape 8

Soustrayez $19.43682832$ de $180$ .

$A = 160.56317167$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (A)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 9.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 10

La période de la fonction $\sin (A)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$A = 19.43682832 + 360 n, 160.56317167 + 360 n$ , pour tout entier $n$