Trigonométrie Exemples

$4^{2 x} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $4^{2 x}$ comme ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = 4^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $4^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 63 u - 64 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 63 u - 64$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 64$ et dont la somme est $- 63$ .

$- 64, 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 64) (u + 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $4^{x} - 64$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $4^{x} - 64$ égal à $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4^{x} - 64 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{x} = 64$

Étape 3.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$4^{x} = 4^{3}$

Étape 3.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 4

Définissez $4^{x} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $4^{x} + 1$ égal à $0$ .

$4^{x} + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4^{x} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4^{x} = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{x}) = \ln (- 1)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 1)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $4^{x} = - 1$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$ vraie.

$x = 3$