Trigonométrie Exemples

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $6 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $9 \sin (x) \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 2

Remplacez le $3 \sin^{2} (x)$ par $3 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1.1.1

Déplacez $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 3 \cos^{2} (x)$ et $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 5.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 5.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 5.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez des parenthèses.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.4

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.4.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Étape 6.5

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sin (x) - 2$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Étape 6.6.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Étape 6.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Étape 6.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 8

Définissez $3 \sin (x) + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $3 \sin (x) + 2$ égal à $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 \sin (x) + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin (x) = - 2$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Étape 8.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Étape 8.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.4.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Étape 8.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Étape 8.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 8.2.6.2

L’angle résultant de $3.8713203$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Étape 8.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 8.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.72972765$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.72972765 + 2 π$

Étape 8.2.8.2

Soustrayez $0.72972765$ de $2 π$ .

$5.55345765$

Étape 8.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.55345765$

Étape 8.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Définissez $3 \cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $3 \cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.3

Séparez les fractions.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9.2.6

Séparez les fractions.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 9.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 9.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 9.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Étape 9.2.10

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 3$

Étape 9.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 9.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 9.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 9.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.11.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Étape 9.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (3)$

Étape 9.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.13.1

Évaluez $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Étape 9.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Étape 9.2.15

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.15.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Étape 9.2.15.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Étape 9.2.15.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Étape 9.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 9.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez $1.24904577 + π n$ et $4.39063842 + π n$ en $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , pour tout entier $n$