Trigonométrie Exemples

$10^{2 x} - 3 \cdot 10^{x} - 18 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $10^{2 x}$ comme ${(10^{x})}^{2}$ .

${(10^{x})}^{2} - 3 \cdot 10^{x} - 18 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = 10^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $10^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 3 u - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 6) (u + 3) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10^{x}$ .

$(10^{x} - 6) (10^{x} + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$10^{x} - 6 = 0$

$10^{x} + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $10^{x} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $10^{x} - 6$ égal à $0$ .

$10^{x} - 6 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $10^{x} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$10^{x} = 6$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{x}) = \log (6)$

Étape 3.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1

Développez $\log (10^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \log (10) = \log (6)$

Étape 3.2.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \log (6)$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \log (6)$

Étape 4

Définissez $10^{x} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $10^{x} + 3$ égal à $0$ .

$10^{x} + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $10^{x} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$10^{x} = - 3$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{x}) = \log (- 3)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\log (- 3)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $10^{x} = - 3$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(10^{x} - 6) (10^{x} + 3) = 0$ vraie.

$x = \log (6)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \log (6)$

Forme décimale :

$x = 0.77815125 \dots$