Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\sec^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $- \sec^{2} (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.3

Associez $- \sec^{2} (x)$ et $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{- \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.3

Déplacez $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.4

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec^{2} (x) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (x)) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (x) - 1) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.5.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \tan^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \tan^{2} (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x)) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x))$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.11

Réécrivez $- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ comme $- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ .

$\frac{- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Étape 2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

Étape 3.1.1.7

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 3.1.1.8

Associez.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

Étape 3.1.1.9

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.1.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

Étape 3.1.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.9.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

Étape 3.1.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

Étape 3.1.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = 0$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Étape 3.7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.9.1.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1.2.1

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.9.1.2.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.9.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.9.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.10

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.10.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.10.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - {\sin (x)}^{1 + 1} + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.11

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + 1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.12

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 3.13

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.14

Remplacez $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))} = 0$

Étape 3.15

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.16

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.17

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.18

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.19

Divisez $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.20

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.20.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.20.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.20.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 2}} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.20.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.21

Convertissez de $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ à $\tan^{3} (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.22

Séparez les fractions.

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.23

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 3.24

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0 \sec (x)$

Étape 3.25

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$

Étape 3.26

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan^{3} (x) = 0$

$\sec (x) = 0$

Étape 3.27

Définissez $\tan^{3} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.27.1

Définissez $\tan^{3} (x)$ égal à $0$ .

$\tan^{3} (x) = 0$

Étape 3.27.2

Résolvez $\tan^{3} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.27.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.27.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.27.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\tan (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.27.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\tan (x) = 0$

Étape 3.27.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 3.27.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.27.2.4.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.27.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 3.27.2.6

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 3.27.2.7

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.27.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.27.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.27.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.27.2.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.27.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.28

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.28.1

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 3.28.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3.29

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$ vrai.

Aucune solution