Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Étape 1.1.2

Pour écrire $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Étape 1.1.3

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Étape 1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ par $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ par $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Étape 1.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) + 1 + \frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)}}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Étape 1.1.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Étape 1.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} = 1$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)} = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Étape 3.1.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ par $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 3.2.1.3

Développez $(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.4.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.4.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1$

Étape 3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3.2.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \csc (x)$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) = 2 + \csc (x)$

Étape 4.1.2

Soustrayez $\csc (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x) = 2$

Étape 4.1.3

Associez les termes opposés dans $\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x)$ .

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Étape 4.1.3.1

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$0 + 2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Étape 4.1.3.3

Soustrayez $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$2 + 0 = 2$

Étape 4.1.3.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 = 2$

Étape 4.2

Comme $2 = 2$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$