Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 1.1.5.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 = 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 = 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.3

Développez $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Étape 3.2.1.4.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Étape 3.2.1.4.1.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)))$

Étape 3.2.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x))$

Étape 3.2.1.4.1.5

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.4.1.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Étape 3.2.1.4.1.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Étape 3.2.1.4.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.2.1.4.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.1.4.2

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 0 - \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.1.4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Étape 3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 2$

Étape 4

Comme $2 = 2$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$