Trigonométrie Exemples

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = 5$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x} - e^{- x} = 5 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$e^{x} - e^{- x} = 10$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 10$

Étape 3.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u - u^{- 1} = 10$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 10$

Étape 3.4

Résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 3.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 3.4.2

Multiplier chaque terme dans $u - \frac{1}{u} = 10$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - \frac{1}{u} = 10$ par $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 10 u$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 10 u$

Étape 3.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.4.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 10 u$

Étape 3.4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 10 u$

Étape 3.4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 1 = 10 u$

Étape 3.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Soustrayez $10 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 - 10 u = 0$

Étape 3.4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.3.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.3

Additionnez $100$ et $4$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 3.4.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{10 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{10 \pm 2 \sqrt{26}}{2}$

Étape 3.4.3.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{26}}{2}$ .

$u = 5 \pm \sqrt{26}$

Étape 3.4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 5 + \sqrt{26}, 5 - \sqrt{26}$

Étape 3.5

Remplacez $u$ par $5 + \sqrt{26}$ dans $u = e^{x}$ .

$5 + \sqrt{26} = e^{x}$

Étape 3.6

Résolvez $5 + \sqrt{26} = e^{x}$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 5 + \sqrt{26}$ .

$e^{x} = 5 + \sqrt{26}$

Étape 3.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 + \sqrt{26})$

Étape 3.6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (5 + \sqrt{26})$

Étape 3.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 + \sqrt{26})$

Étape 3.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (5 + \sqrt{26})$

Étape 3.7

Remplacez $u$ par $5 - \sqrt{26}$ dans $u = e^{x}$ .

$5 - \sqrt{26} = e^{x}$

Étape 3.8

Résolvez $5 - \sqrt{26} = e^{x}$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 5 - \sqrt{26}$ .

$e^{x} = 5 - \sqrt{26}$

Étape 3.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 - \sqrt{26})$

Étape 3.8.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (5 - \sqrt{26})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.8.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 5 - \sqrt{26}$

Aucune solution

Étape 3.9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (5 + \sqrt{26})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (5 + \sqrt{26})$

Forme décimale :

$x = 2.31243834 \dots$